Question

例1．求下列函数的值域
（1）y=

1+sinx

2+cosx

（2）y=

ex-e-x

ex+e-x

（3）y=sinx+cosx+sinxcosx
（4）y=x+

1

x

(2≤x≤5)（5）y=

x+1

x+2

．

Answer 1

分析：（1）原式可化为：sinx-2cosx=2y-1，∴

5

sin（x+α）=2y-1，即sin（x+α）=

2y-1

5

，根据|sin（x+α）|≤1，即可求解；
（2）设e^x=t，原式可化为：y=

t2-1

t2+1

=1-

2

t2+1

，由t＞0即可得出答案；
（3）令sinx+cosx=T，（1）由同角三角函数关系sinxcosx=

(sinx+cosx)2-((sinx)2+ (cosx)2)

2

，把（1）式代入，得sinxcosx=

T2-1

2

，所以y=T+

T2-1

2

，根据T的取值范围即可求解；
（4）先求导，然后根据函数的单调性即可得出答案；
（5）设

x+1

=t，则t≥0，函数可化为：yt²-t+y=0，根据判别式≥0及根与系数的关系即可求解；

解答：解：（1）原式可化为：sinx-2cosx=2y-1，
∴

5

sin（x+α）=2y-1，即sin（x+α）=

2y-1

5

，
根据|sin（x+α）|≤1，
∴-1≤

2y-1

5

≤1，解得：

1- 5

2

≤y≤

1+ 5

2

；
（2）设e^x=t，原式可化为：y=

t2-1

t2+1

=1-

2

t2+1

，
∵t＞0，
∴原函数的值域为：（-1，+∞）；
（3）令sinx+cosx=T…①
由同角三角函数关系sinxcosx=

(sinx+cosx)2-((sinx)2+ (cosx)2)

2

，
把①式代入，得sinxcosx=

T2-1

2

，
所以y=T+

T2-1

2

，
整理得，y=

1

2

（T+1）²-1，
而sinx+cosx=

2

sin（x+π/4）∈[-

2

，

2

]
所以y在T[∈[-

2

，

2

]时，不单调
当T=-1时，y取得最小值=-1
当T=

2

时，y取得最大值=

1

2

+

2

故值域[-1，

1

2

+

2

]；
（4）y=x+

1

x

，
∴y′=1-

1

x2

，∵2≤x≤5，
∴y′＞0，
∴原函数为增函数，
∴y的最大值为：5+

1

5

=

26

5

，y的最小值为：2+

1

2

=

5

2

，故值域为[

5

2

，

26

5

]；
（5）∵y=

x+1

x+2

，设

x+1

=t，则t≥0，函数可化为：yt²-t+y=0，当y=0时，x=-1，
当y≠0时，∴△=1-4y²≥0，

1

y

＞0，
∴0＜y≤

1

2

，
故原函数的值域为：[0，

1

2

]．

点评：本题考查了函数的值域，难度较大，关键是掌握以上几种求函数值域的方法．