Question

已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，8]，不等式log

1

3

(x+1)≥m2-3m恒成立；命题q：对任意x∈(0，

2

3

π)，不等式1+sin2x-cos2x≤2mcos(x-

π

4

)恒成立．
（Ⅰ）若p为真命题，求m的取值范围；
（Ⅱ）若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）不等式log

1

3

(x+1)≥m2-3m恒成立等价于m²-3m小于或等于log

1

3

(x+1)在x∈[0，8]上的最小值，从而问题转化为利用单调性求函数f（x）=log

1

3

(x+1)最小值问题，求得m的范围；（2）由（1）得命题p的等价命题，再求命题q的等价命题，根据p且q为假，p或q为真，利用真值表可推得p与q有且只有一个为真，分别解不等式组即可得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）令f（x）=log

1

3

(x+1)，
则f（x）在（-1，+∞）上为减函数，
因为x∈[0，8]，所以当x=8时，f（x）_min=f（8）=-2．
不等式log

1

3

(x+1)≥m2-3m恒成立，等价于-2≥m²-3m，
解得1≤m≤2．
（Ⅱ）不等式1+sin2x-cos2x≤2mcos(x-

π

4

)恒成立，
即2sinx（sinx+cosx）≤

2

m（sinx+cosx）恒成立，
又x∈(0，

2

3

π)时，sinx+cosx为正，
所以m≥

2

sinx对任意x∈(0，

2

3

π)恒成立，
∵x∈(0，

2

3

π)，∴0＜sinx≤1，0＜

2

sinx≤

2

∴m≥

2

即命题q：m≥

2

若p且q为假，p或q为真，则p与q有且只有一个为真．
若p为真，q为假，那么

1≤m≤2 m＜ 2

，则1≤m＜

2

；
若p为假，q为真，那么

m＜1或m＞2 m≥ 2

，则m＞2．
综上所述，1≤m＜

2

或m＞2，
即m的取值范围是[1，

2

）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了不等式恒成立问题的解法，求命题的等价命题的方法，利用真值表判断命题真假的方法和应用，恰当的将恒成立问题转化为求函数最值问题是解决本题的关键