Question

如图,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中, AB=BC,D、E分别为BB₁、AC₁的中点.

(1)证明ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线;

(2)设AA₁=AC=AB,求二面角A₁-AD-C₁的大小.

Answer 1

(1)证明:设O为AC中点,连结EO、BO,则EOC₁C,又C₁CB₁B,

所以EODB,EOBD为平行四边形,ED∥OB.

∵AB=BC,∴BO⊥AC.

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁,BO面ABC,故BO⊥平面ACC₁A₁.

∴ED⊥平面ACC₁A₁,ED⊥AC₁,ED⊥CC₁.

∴ED⊥BB₁,ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线.

(2)连结A₁E,由AA₁=AC= AB可知,四边形A₁ACC₁为正方形,

∴A₁E⊥AC₁,又由ED⊥平面A₁ACC₁和ED平面ADC₁,知平面ADC₁⊥平面A₁ACC₁.

不妨设AA₁=2,

则AC=2,AB=,ED=OB=1,EF=,tan∠A₁FE=.

∴∠A₁FE=60°.

∴二面角A₁-AD-C₁为60°.