题目内容
树林的边界是直线l（如图所示），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A点B点处，AB=BC=a（a为正常数），若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM（M∈AD）方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子．（1）求兔子被狼吃掉的点的区域面积S（a）；
（2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ（θ=∠DAC）的取值范围．
分析：（1）如图建立坐标系xOy，设 A（0，2a），B（0，a），M（x，y），由
≤
，求得x2+(y-
)2≤
．由此求得圆的面积S（a）的值．
（2）设lAD：y=kx+2a（k≠0），由
＞
求得斜率k的范围，即可求得θ的范围．
| BM |
| μ |
| AM |
| 2μ |
| 2a |
| 3 |
| 4a2 |
| 9 |
（2）设lAD：y=kx+2a（k≠0），由
|2a-
| ||
|
| 2a |
| 3 |
解答：解：（1）如图建立坐标系xOy，设 A（0，2a），B（0，a），M（x，y），
由
≤
，得x2+(y-
)2≤
．所以M在以(0，
)为圆心，半径为
的圆及其内部．
所以，s(a)=
π．-------（8分）
（2）设lAD：y=kx+2a（k≠0），由
＞
⇒k∈(-
，0)∪(0，
)，
可得 0＜∠ADB＜
，所以，θ∈(
，
)．---------（6分）
由
| BM |
| μ |
| AM |
| 2μ |
| 2a |
| 3 |
| 4a2 |
| 9 |
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
所以，s(a)=
| 4a2 |
| 9 |
（2）设lAD：y=kx+2a（k≠0），由
|2a-
| ||
|
| 2a |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
可得 0＜∠ADB＜
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率的关系，属于中档题．
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