Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N^*）不能等于（　　）

• A．

  n(n+1)

  2

  f（1）
• B．f[

  n(n+1)

  2

  ]
• C．n（n+1）
• D．n（n+1）f（1）

Answer 1

分析：令x=n（n∈N^*），y=1，可得f（n+1）=f（n）+f（1），可判断{f（n）}为等差数列，从而可得f（n），由等差数列前n项和公式可求得f（1）+f（2）+…+f（n），据此可得答案．

解答：解：令x=n（n∈N^*），y=1，
则有f（n+1）=f（n）+f（1），
∵f（1）=2，∴f（n+1）-f（n）=2，
∴{f（n）}为等差数列，公差为2，首项为2，
∴f（n）=2+2（n-1）=2n，
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=2+4+…+2n=

n(2+2n)

2

=n（n+1），
而n（n+1）f（1）=2n（n+1）≠n（n+1），即f（1）+f（2）+…+f（n）不能等于n（n+1）f（1），
故选D．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查等差数列的通项公式及前n项和公式，属中档题．