Question

如图，椭圆的焦点在x轴上，左右顶点分别为，上顶点为B，抛物线分别以A,B为焦点，其顶点均为坐标原点O，与相交于直线上一点P.

（1）求椭圆C及抛物线的方程；

（2）若动直线与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同的两点M,N，已知点，求的最小值．

 

 

Answer 1

（1）椭圆C:，抛物线C1：抛物线C2：；（2）.

【解析】

试题分析：(1)由题意可得A（a，0），B（0，），而抛物线C1，C2分别是以A、B为焦点，∴可求得C2的解析式：，设C1的解析式为，再由C1与C2的交点在直线y=x上，；(2)直线OP的斜率为，所以直线的斜率为，设直线方程为，

设M（）、N（），将直线方程与椭圆方程联立，利用解析几何中处理直线与圆锥曲线中常用的“设而不求”思想，可以得到,结合韦达定理，即可得到的最值.

（1）由题意可得A（a，0），B（0，），故抛物线C1的方程可设为，C2的方程为 1分

由 得 3分

∴椭圆C:，抛物线C1：抛物线C2： 5分； （2）由（1）知，直线OP的斜率为，所以直线的斜率为，设直线方程为

由，整理得

设M（）、N（），则 7分

因为动直线与椭圆C交于不同两点，所以

解得 8分

，

∵，

∴ 11分

∵，所以当时，取得最小值，

其最小值等于 13分

考点：1、圆锥曲线解析式的求解；2、直线与椭圆相交综合.