Question

选修4-4：坐标系与参数方程
将圆x²+y²=4上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C； 直线l：
（I）写出直线l与曲线C的直角坐标方程
（II）求C上的点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）①由直线l：，化为2ρcosθ+3ρsinθ=8，2x+3y=8；
②设要求的曲线C上的点P（x，y）是由圆x²+y²=4上点P^′（x^′，y^′）的纵坐标压缩至原来的而得到的，
则，解得，而（x^′）²+（y^′）²=4，
∴x²+（2y）²=4，化为．
（Ⅱ）设直线m∥l且m与椭圆相切，则直线m的方程可设为2x+3y+t=0，联立，
消去y得到25x²+16tx+4t²-36=0，
∵相切，
∴△=（16t）²-100（4t²-36）=0，解得t=±5．
可以知道当t=5时，得到的切点到直线l的距离最大．
把t=5代入（*）得（5x+8）²=0，解得，代入2x+3y+5=0，解得y=，
∴切点为．
由点到直线的距离公式即可得切点到直线l：2x+3y-8=0的距离d==，即为所求的最大值．
分析：（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化公式和“代点法”即可得出；
（Ⅱ）把直线方程与椭圆方程联立，利用相切时的切点即可得出．
点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式和“代点法”、直线与椭圆相切问题?△=0是解题的关键．