Question

22.设a₀为常数，且a_n=3^n－1－2a_n－1（n∈N₊）.

 

（Ⅰ）证明对任意n≥1，a_n=［3ⁿ+（－1）^n－1·2ⁿ］+（－1）ⁿ·2ⁿa₀；

 

（Ⅱ）假设对任意n≥1有a_n>a_n－1，求a₀的取值范围.

 

Answer 1

22.

（Ⅰ）证法一：（i）当n=1时，由已知a₁=1－2a₀.等式成立；

（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，即a_k=［3^k+（－1）^k－12^k］+（－1）^k2^ka₀，

那么a_k+1=3^k－2a_k=3^k－［3^k+（－1）^k－1·2^k］－（－1）^k2^k+1a₀

=［3^k+1+（－1）^k2^k+1］+（－1）^k+12^k+1a₀，

也就是说，当n=k+1时，等式也成立.

根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N₊成立.

 

证法二：如果设a_n－a3ⁿ=－2（a_n－1－a3^n－1），

 

用aⁿ=3^n－1－2a_n－1代入，可解出a=.

 

所以{a_n－}是公比为－2，首项为a₁－的等比数列，

 

∴a_n－=（1－2a₀－）（－2）^n－1（n∈N₊），

 

即a_n= +（－1）ⁿ2ⁿa₀.

 

（Ⅱ）解法一：由a_n通项公式

a_n－a_n－1=+（－1）ⁿ3×2^n－1a₀，

 

∴a_n>a_n－1（n∈N₊）等价于（－1）^n－1（5a₀－1）<（）^n－2（n∈N₊）.            ①

（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，

 

①式即为（－1）^2k－2（5a₀－1）<（）^2k－3，

即为a₀<（）^2k－3+.                                                       ②

 

②式对k=1，2，…都成立，有a₀<×（）^－1+=.

 

（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为（－1）^2k－1·（5a₀－1）<（）^2k－2，

即为a₀>－×（）^2k－2+.                                                ③

 

③式对k=1，2，…都成立，有a₀>－×（）^2×1－2+=0.

 

综上，①式对任意n∈N₊成立，有0<a₀<.

 

故a₀的取值范围为（0，）.

 

解法二：如果a_n>a_n－1（n∈N₊）成立，特别取n=1，2有a₁－a₀=1－3a₀>0，a₂－a₁=6a₀>0，

 

因此0<a₀<.

 

下面证明当0<a₀<时，对任意n∈N₊，有a_n－a_n－1>0.

 

由a_n通项公式5（a_n－a_n－1）=2×3^n－1+（－1）^n－13×2^n－1+（－1）ⁿ5×3×2^n－1a₀.

 

（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，

 

5（a_n－a_n－1）=2×3^n－1+3×2^n－1－5×3×2^n－1a₀>2×2^n－1+3×2^n－1－5×2^n－1=0.

 

（ii）当n=2k，k=1，2，…时，

 

5（a_n－a_n－1）=2×3^n－1－3×2^n－1+5×3×2^n－1a₀>2×3^n－1－3×2^n－1≥0.

 

故a₀的取值范围为（0，）.