题目内容
已知向量
、
满足：|
|=|
|=1，且|k
+
|=
|
-k
|，其中k＞0．
（1）用k表示
•
；
（2）当
•
最小时，求
与
的夹角θ的大小．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）用k表示
| a |
| b |
（2）当
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）根据向量模的公式与数量积的运算性质化简已知等式，结合|
|=|
|=1算出k2+2k
•
+1=3(1-2k
•
+k2），化简即得用k表示
•
的式子；
（2）由基本不等式，算出
•
=
(k+
)≥
，可得当k=1时，
•
的最小值为
，由此利用向量的夹角公式加以计算，即可得到
与
的夹角θ的大小．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）由基本不等式，算出
| a |
| b |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| k |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
解答：解：（1）∵|k
+
|=
|
-k
|，
∴(k
+
)2=3(
-k
)2，
可得k2|
|2+2k
•
+|
|2=3(|
|2-2k
•
+k2|
|2)
∵|
|=|
|=1，
∴|
|2=|
|2=1，
∴k2+2k
•
+1=3(1-2k
•
+k2)，
解得
•
=
；
（2）∵
•
=
=
(k+
)≥
×2
=
，（当且仅当k=
=1时，等号成立）．
∴当k=1时，
•
的最小值为
，
此时
•
=|
|•|
|•cosθ=
，
将|
|=|
|=1代入得cosθ=
，
∵θ∈（0，π），
∴θ=
，即为
与
的夹角的大小．
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
∴(k
| a |
| b |
| a |
| b |
可得k2|
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
∵|
| a |
| b |
∴|
| a |
| b |
∴k2+2k
| a |
| b |
| a |
| b |
解得
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
（2）∵
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| k |
| 1 |
| 4 |
k•
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| k |
∴当k=1时，
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
此时
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
将|
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
∵θ∈（0，π），
∴θ=
| π |
| 3 |
| a |
| b |
点评：本题给出单位向量
、
满足的条件，求
•
的最小值并求相应的夹角大小．着重考查了平面向量数量积的运算性质、向量模的公式、基本不等式和夹角大小的求法等知识，属于中档题．
| a |
| b |
| a |
| b |
练习册系列答案
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已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=
，则a与b的夹角为（ ）
| 37 |
| A、30° | B、45° |
| C、60° | D、90° |