Question

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（I）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）若对任意a∈（-3，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＜1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（I）当a=2时，f（x）=x²-（2a+1）+alnx=x²-5x+2lnx
∴f′（x）=2x-5+
∴f′（1）=-1，f（1）=-4，
∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+3=0
（II）∵f′（x）=2x-（2a+1）+=
令f′（x）=0，可得，x₂=a
①当a＞时，由f′（x）＞0可得，
f（x）在（0，），（a，+∞）上单调递增，
由f′（x）＜0可得：
f（x）在（，a）上单调递减，
②当a=时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当0＜a＜时，由f′（x）＞0可得
f（x）在（0，a），（，+∞）上单调递增，
由f′（x）＜0，可得f（x）在（a，）上单调递减
④当a≤0时，由f′（x）＞0，可得，
f（x）在（，+∞）上单调递增，
由f′（x）＜0可得f（x）在（0，）上单调递减．
（III）由题意可知，对?a∈（-3，-2），x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＜1成立
等价于ma-1＜f（x）_min，
由（II）知，当a∈（-3，-2）时，f（x）在[1，3]上单调递增
∴f（x）_min=f（1）=-2a，
∴原题等价于对?a∈（-3，-2）时，ma-1＜-2a恒成立，
即m＞=-2，在a∈（-3，-2）时，有-＜＜-
故当m≥-时，ma-1＜-2a恒成立，
∴m≥-．
分析：（I）当a=2时，f（x）=x²-（2a+1）+alnx=x²-5x+2lnx，对f（x）进行求导，求出x=1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；
（II）对f（x）进行求导，令f′（x）=0，并求出其极值点，从而求出其单调区间；
（III）由题意可知，对?a∈（-3，-2），x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＜1成立等价于ma-1＜f（x）_min，从而求出m的取值范围；
点评：此题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用导数研究某点的切线方程，关于恒成立的问题，一般都要求函数的最值，此题是一道中档题．