Question

己知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，不等式所表示的平面区域的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左项点为A，上顶点为B，圆M过A、B两点．当圆心M与原点O的距离最小时，求圆M的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆C的离心率为，可得a=b，根据不等式所表示的平面区域的面积为，可得，由此可求得a，b的值，从而可得椭圆C的方程；
（2）确定AB的垂直平分线L的方程，当圆心M与原点O的距离最小时，OM⊥L，可得OM的方程，联立可得M的坐标与圆的半径，从而可得圆M的方程．
解答：解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，∴
∴a=b①
根据对称性，可得不等式所表示的平面区域是椭圆C的四个顶点为顶点的菱形
∵不等式所表示的平面区域的面积为．
∴②
由①②解得a=4，b=2
∴椭圆C的方程为；
（2）由题意，A（-4，0），B（0，2），可得AB的垂直平分线L的方程为：=0
点M在L上，当圆心M与原点O的距离最小时，OM⊥L，可得OM的方程为：
解方程组得x=-，y=-
∴M（），此时
∴圆M的方程为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆的方程，确定圆的圆心与半径是关键．