Question

己知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，A₁、A₂是椭圆的左右顶点，B₁、B₂是椭圆的上下顶点，四边形A₁B₁A₂B₂的面积为16

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）圆M过A₁、B₁两点．当圆心M与原点O的距离最小时，求圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的离心率和菱形A₁B₁A₂B₂的面积，建立关于a、b、c的方程组，解之可得a=4，b=2

2

，从而得到椭圆C的方程；
（2）根据题意，过A₁、B₁两点的圆的圆心M在A₁B₁的垂直平分线l上，且当OM⊥l时圆心M与原点O的距离最小．由此得到直线OM的方程与直线l方程联解得到M（-

2

3

，-

2

3

），再由MA₁长得到圆M的半径，得到此时圆M的方程．

解答：解：（1）依题意有：e=

c

a

=

2

2

⇒a=

2

b①…（2分）
四边形A₁B₁A₂B₂是以椭圆C的四顶点为顶点的菱形
可得：S_A1B1A2B2=

1

2

×2a×2b=16

2

即ab=8

2

②…（4分）
由①、②联解，可得：a=4，b=2

2

所以椭圆C的方程为：

x2

16

+

y2

8

=1…（6分）
（2）依题意得A1(-4，0)，B1(0，2

2

)
可得A₁B₁的中点为（-2，

2

），A₁B₁的斜率k=

2

2

∴A₁B₁的垂直平分线l的斜率为k'=

-1

k

=-

2

，
可得A₁B₁的垂直平分线l的方程为：y-

2

=-

2

（x+2），化简得

2

x+y+

2

=0…③（8分）
根据圆M过A₁、B₁两点，可得圆心M在l上，当圆心M与原点O的距离最小时，OM⊥l
∴OM的方程为y=

2

2

x…④（10分）
联立③、④得x=-

2

3

，y=-

2

3

，得到M(-

2

3

，-

2

3

)…（12分）
由此可得r2=MA12=(-

2

3

+4)2+(-

2

3

-0)2=

34

3

，
因此，此时的圆M方程为：(x+

2

3

)2+(y+

2

3

)2=

34

3

…（14分）

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并且求圆心M与原点距离最小时的圆M的方程，着重了椭圆的标准方程和简单几何性质、圆的标准方程等知识，属于中档题．