Question

（2013•永州一模）若两整数a，b除以同一个整数m，所得余数相同，则称a，b对模m同余．即当a，b，m∈z时，若=k（k∈z，k≠0），则称a、b对模m同余，用符号a=b（modm）表示．

（1）若6=b（mod2）且0＜b＜6，则b的所有可能取值为 ；

（2）若a=10（modm）（a＞10，m＞1），满足条件的a由小到大依次记为a1，a2…an，…，当数列{an}前m﹣1项的和为60（m﹣1）时，则m= ．

 

Answer 1

2，4；10．

【解析】

试题分析：（1）由两数同余的定义，m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a﹣b是m的倍数，则称a、b模m同余，我们易得若6=b（mod2），则6﹣b为2的整数倍，则b=6﹣2n，n∈Z，再根据0＜b＜6易得答案．

（2）若a=10（modm）（a＞10，m＞1），由两数同余的定义得，a=10+mn，n∈N*，又a＞10，m＞1，分别取n=1，2，3，…，m﹣1得数列{an}前m﹣1项10+m，10+2m，10+3m，…，10+m（m﹣1），再根据数列{an}前m﹣1项的和60（m﹣1）结合等差数列的求和公式列出关于m的方程，即可求出m的值．

【解析】
（1）由两数同余的定义，

m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a﹣b是m的倍数，

则称a、b模m同余，

我们易得若6=b（mod2），b=6﹣2n，n∈Z，又0＜b＜6，

故b=2，4满足条件．

（2）若a=10（modm）（a＞10，m＞1），由两数同余的定义得，

a=10+mn，n∈N*，又a＞10，m＞1，

故a=10+m，10+2m，10+3m，…，10+m（m﹣1）满足条件．

数列{an}前m﹣1项的和为（m﹣1）（10+m）+（m﹣1）（m﹣2）m=60（m﹣1），

解得m=10．

故答案为：2，4；10．