Question

11．已知函数f（x）=xlnx．（其中e=2.71828为自然对数的底数）
（Ⅰ）若方程f（x）-a=0在区间$[\frac{1}{e^2}，+∞）$上有2个不同的实根，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-$\frac{1}{e}{x^2}$，证明：g（x）_极小值＞$\frac{1-e}{e}$；
（Ⅲ）若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是函数f（x）的图象上不同的两点，且函数f（x）的图象在P，Q处切线交点的横坐标为s，直线PQ在y轴上的截距为t，记M=x₁•x₂+s•t，请探索M的值是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导f′（x）=1+lnx，由导数的正负确定函数的单调性，结合方程f（x）-a=0在区间$[\frac{1}{e^2}，+∞）$上有2个不同的实根可得$f（\frac{1}{e}）＜a≤f（\frac{1}{e^2}）$，从而求实数a的取值范围；
（Ⅱ）化简$g（x）=xlnx-\frac{1}{e}{x^2}$，再求导并令导数$g'（x）=1+lnx-\frac{2}{e}x=0$，从而可得$lnx=\frac{2}{e}x-1$，从而求$g{（x）_{极小值}}=g（{x_0}）={x_0}ln{x_0}-\frac{1}{e}{x_0}^2={x_0}（\frac{2}{e}{x_0}-1）-\frac{1}{e}{x_0}^2=\frac{1}{e}x_0^2-{x_0}$，再由x₀∈（0，1）可证明．
（Ⅲ）先设直线PQ为y=kx+t，从而可得$ln{x_1}=k+\frac{t}{x_1}$，再结合$ln{x_2}=k+\frac{t}{x_2}$可得$\frac{t}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，再设两切线交于点（s，r），从而可得（1+lnx₁）（x₁-s）=x₁lnx₁-r，从而可得$s=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{ln{x_2}-ln{x_1}}}$，从而可得s•t+x₁•x₂=0．

解答 解：（Ⅰ）令f′（x）=1+lnx＜0，得$0＜x＜\frac{1}{e}$，
令f′（x）=1+lnx＞0，得$x＞\frac{1}{e}$，
∴f（x）在$[\frac{1}{e^2}，\frac{1}{e}）$上单调递减，在$（\frac{1}{e}，+∞）$上单调递增，
又$f（\frac{1}{e^2}）=-\frac{2}{e^2}$，$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$，
要方程f（x）-a=0在区间$[\frac{1}{e^2}，+∞）$上有2个不同的实根，
则$f（\frac{1}{e}）＜a≤f（\frac{1}{e^2}）$，
即$a∈（-\frac{1}{e}，-\frac{1}{e^2}]$．
（Ⅱ）证明：$g（x）=xlnx-\frac{1}{e}{x^2}$，
令$g'（x）=1+lnx-\frac{2}{e}x=0$，即$lnx=\frac{2}{e}x-1$（*）
易知方程（*）的一根为x=e，
结合函数y=lnx与$y=\frac{2}{e}x-1$图象，
设另一根为x=x₀，则$ln{x_0}=\frac{2}{e}{x_0}-1$，
∵当x=1时，$ln1＞\frac{2}{e}•1-1$，
∴0＜x₀＜1，
且当x∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，
当x∈（x₀，e）时，g′（x）＞0，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
∴$g{（x）_{极小值}}=g（{x_0}）={x_0}ln{x_0}-\frac{1}{e}{x_0}^2={x_0}（\frac{2}{e}{x_0}-1）-\frac{1}{e}{x_0}^2=\frac{1}{e}x_0^2-{x_0}$，
∵x₀∈（0，1），
∴$g{（x）_{极小值}}＞\frac{1}{e}×{1^2}-1=\frac{1}{e}-1$．
（Ⅲ）设直线PQ：y=kx+t，
∴x₁lnx₁=kx₁+t，即$ln{x_1}=k+\frac{t}{x_1}$，
同理$ln{x_2}=k+\frac{t}{x_2}$，
∴$\frac{t}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，①
设两切线交于点（s，r），
∴（1+lnx₁）（x₁-s）=x₁lnx₁-r，
即（1+lnx₁）s=x₁+r，同理（1+lnx₂）s=x₂+r，
∴$s=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{ln{x_2}-ln{x_1}}}$，②
由①②得$\frac{s•t}{{{x_1}•{x_2}}}=-1$，
即s•t+x₁•x₂=0，
所以M=0．

点评 本题考查了导数的综合应用及直线与函数的关系应用，同时考查了函数零点的判定定理的应用，化简困难，属于难题．