Question

20．已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为△ABC内一点，且$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{PC}$=0，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 设G为BC的中点，F为AC的中点，由条件求得F、P、G共线，且PF=2PG，GF为三角形ABC的中位线．以BC所在的直线为x轴，以AG所在的直线为y轴，建立坐标系，求出点P的坐标，即可求得 $\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值．

解答 解：∵△ABC是边长为2的正三角形，且$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{PC}$=0，
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=-2（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$），如图：
设G为BC的中点，F为AC的中点，APCD、BECP为平行四边形，
则有2$\overrightarrow{PF}$=-2（$\overrightarrow{PG}$），即$\overrightarrow{PF}$=-2$\overrightarrow{PG}$，
∴F、P、G共线，且PF=2PG，GF为三角形ABC的中位线．
以BC所在的直线为x轴，以AG所在的直线为y轴，建立坐标系，
则点A（0，$\sqrt{3}$）、点B（-1，0），C（1，0），
故AC的中点F（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由题意可得，$\overrightarrow{GP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=（$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$），点P的坐标为（$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
∴$\overrightarrow{PA}$=（-$\frac{1}{6}$，$\frac{5\sqrt{3}}{6}$），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{7}{6}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-$\frac{1}{6}$×（-$\frac{7}{6}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{6}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）=-$\frac{2}{9}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，属于中档题．