Question

13．正三棱锥P-ABC中，有一半球，某底面所在的平面与正三棱锥的底面所在平面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径为2，则当正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 画出图形，设三棱锥的高 PO=x，底面△ABC的AB边上的高 CD=3y，求出x，y的关系，推出体积的表达式，利用函数的导数求出函数的最小值，即可求出高的值．

解答 解：根据题意，画出图形如下，
其中，立体图形只画出了半球的底面．
设三棱锥的高 PO=x，
底面△ABC的AB边上的高 CD=3•OD=3y
在纵切面图形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，
则 $\frac{PO}{EO}$=$\frac{PD}{OD}$，而 PD=$\sqrt{{PO}^{2}+{OD}^{2}}$，即 $\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{y}$，整理得 x²y²=4x²+4y²，
所以 y²=4×$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}-4}$，
而三棱锥P-ABC的体积等于 $\frac{1}{3}$×底面△ABC的面积×高PO，即V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×AB×CD×PO=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$y×3y×x=$\sqrt{3}$y²x=4×$\frac{{\sqrt{3}x}^{3}}{{x}^{2}-4}$，
对体积函数求导，得
V′=4×$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}（{x}^{2}-12）}{（{x}^{2}-4）^{2}}$，令V′=0，解得唯一正解 x=2$\sqrt{3}$，
由该体积函数的几何意义可知 x=2$\sqrt{3}$为其体积最小值点，
故三棱锥体积最小时V_min=24，高为2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查几何体的内接球的问题，函数的导数的应用，考查空间想象能力以及计算能力．