题目内容
1．已知平面内O、A、B、C四点，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，（x，y∈R）（1）若x+y=1，求证A、B、C三点共线；
（2）若A、B、C三点共线，则实数x、y应满足怎样的条件？
分析 （1）由题意可得y=1-x，可得$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+（1-x）$\overrightarrow{OB}$，由向量运算可得$\overrightarrow{BC}$=x$\overrightarrow{BA}$，可得$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{BA}$共线，可得A、B、C三点共线；
（2）由（1）的证明过程，逆向推理可得．
解答 解：（1）∵x+y=1，∴y=1-x，
又∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+（1-x）$\overrightarrow{OB}$
=x（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）+$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=x（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{BC}$=x$\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{BA}$共线，
∴A、B、C三点共线；
（2）若A、B、C三点共线，则$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{BA}$共线，
∴$\overrightarrow{BC}$=x$\overrightarrow{BA}$，∴$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=x（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+（1-x）$\overrightarrow{OB}$
∴y=1-x，即x+y=1，
∴实数x、y应满足的条件为x+y=1．
点评 本题考查平面向量的共线与三点共线，属中档题．
如图，已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的下顶点为B，右焦点为F，直线BF与椭圆E的另一个交点为A，$\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{FA}$．| A． | {-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$} | B． | {-$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$} | C． | {-$\frac{2π}{3}$，-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$} | D． | {-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$} |
已知某空间几何体的三视图如图所示，其体积V为定值2$\sqrt{5}$，AB=AC，AD⊥BC，AD=$\sqrt{5}$，则m+n的最小值为（ ）| A． | $\sqrt{6}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2$\sqrt{6}$ | D． | 2$\sqrt{3}$ |
| A． | 若m∥α，m?β，α∩β=nα∩β=n则m∥n | |
| B． | 若m⊥α，n⊥α，则m∥n | |
| C． | 若m?α，n?α，m∥β，n∥β，m∩n=O，m∩n=O，则α∥β | |
| D． | 若α⊥β，m?α，则m⊥β |