题目内容

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线 $数学公式$ 的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则正实数a的值为________．

$\text{[math]}$
分析：先利用抛物线定义，计算抛物线方程和m的值，在求出双曲线的左焦点坐标和准线方程，最后利用两直线平行的充要条件列方程即可解得a的值
解答：利用抛物线的定义，点M（1，m）到焦点的距离等于到准线x=- $\text{[math]}$ 的距离，即1+ $\text{[math]}$ =5，解得p=8
∴抛物线的标准方程为y²=16x，令x=1，得m=4，即M（1，4）
∵双曲线 $\text{[math]}$ ，的左顶点为A（-a，0），渐近线方程为y=± $\text{[math]}$ x
依题意，AM的斜率为k= $\text{[math]}$ ＞0，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得正实数a的值为 $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程和双曲线的标准方程，双曲线的几何性质等基础知识，属基础题

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