题目内容

已知 $数学公式$ =（cosα，sinα）， $数学公式$ =（cosβ，sinβ），0＜ $数学公式$ ，| $数学公式$ |= $数学公式$ ，求sin（α-β）．

解：∵ $\text{[math]}$ =（cosα，sinα）， $\text{[math]}$ =（cosβ，sinβ），| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，
∴| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |²= $\text{[math]}$ ，即（cosα-cosβ）²+（sinα-sinβ）²= $\text{[math]}$ ，
整理得：sinαsinβ+cosαcosβ= $\text{[math]}$ ，
∴cos（α-β）=sinαsinβ+cosαcosβ= $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，得到0＜α-β＜π，
则sin（α-β）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：由两向量的坐标表示出| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |，代入已知的等式，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式求出cos（α-β）的值，由α和β的范围求出α-β的范围，利用同角三角函数间的基本关系，即可求出sin（α-β）的值．
点评：此题考查了平面向量的数量积运算，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．