Question

为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛．先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．

分数（分数段）	频数（人数）	频率
[60，70）	9	x
[70，80）	y	0.38
[80，90）	16	0.32
[90，100）	z	s
合   计	p	1

（Ⅰ）求出上表中的x，y，z，s，p的值；
（Ⅱ）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序．已知高一•二班有甲、乙两名同学取得决赛资格．
①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
②记高一•二班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）根据样本容量，频率和频数之间的关系得到要求的几个数据，注意[80，90）小组数据得出样本容量，从而进一步得出表中的x，y，z，s，p的值．
（II）①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
②随机变量X的可能取值为0，1，2，结合变量对应的概率，写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，由[80，90）上的数据，
根据样本容量，频率和频数之间的关系得到n=

16

0.32

=50，
∴x=

9

50

=0.18，
y=19，z=6，s=0.12，p=50--------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，--------------（4分）
①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A，
则P(A)=

A 5 5 + A 1 4 A 1 4 A 4 4

A 6 6

=

7

10

所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为

7

10

．--------------（6分）
②随机变量X的可能取值为0，1，2--------------（7分）
P(X=0)=

A 2 3 A 4 4

A 6 6

=

1

5

，
P(X=1)=

C 1 2 A 1 3 A 1 3 A 4 4

A 6 6

=

3

5

，
P(X=2)=

A 2 3 A 4 4

A 6 6

=

1

5

，--------------（10分）
随机变量X的分布列为：

X	0	1	2
P	1 5	3 5	1 5

--------------（11分）
因为 EX=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

1

5

=1，
所以随机变量X的数学期望为1．--------------（12分）

点评：本小题考查频率、频数和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的随机变量的分布列及数学期望，是一个综合题．