Question

已知四边形ABCD中，AB=2，BC=CD=4，DA=6，且∠D=60°试求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：利用余弦定理求得AC，cosB的值，可得sinB的值，再根据ABCD的面积S=S△ACD+S△ABC=

1

2

AD•CDsin∠D+

1

2

AB•BCsin∠B，运算求得结果．

解答：解：连AC，在△ACD中，由AD=6，CD=4，∠D=60°，可得AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠D=6²+4²-2×4×6cos60°=28，
在△ABC中，由AB=2，BC=4，AC²=28，
可得cos∠B=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

22+42-28

2×2×4

=-

1

2

．
又0＜∠B＜180°，故sin∠B=

3

2

．
所以四边形ABCD的面积S=S△ACD+S△ABC=

1

2

AD•CDsin∠D+

1

2

AB•BCsin∠B
=

1

2

×4×6sin60°+

1

2

×2×4sin120°=8

3

．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，用分割法求四边形的面积，属于中档题．