Question

如图5所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°.PD垂直底面ABCD,PD=2R.E,F分别是PB,CD上的点,且,过点E作BC的平行线交PC于G.

图5

(1)求BD与平面ABP所成角θ的正弦值;

(2)证明△EFG是直角三角形;

(3)当=时,求△EFG的面积.

Answer 1

(1)解:过点D作DH⊥PA,垂足为H,连结BH,

∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.

∵BD是直径，

∴AB⊥AD,

∴AB⊥平面PAD.

又HD平面PAD,

∴AB⊥HD.

∴HD⊥平面PAB.

因此∠DBH就是BD与平面PAD所成的角.

∵AD=R,AP=,

∴DH=R.

sinθ=sin∠DBH==.

(2)证明:∵EG∥BC,

∴.又,

∴.∴GF∥PD.又PD⊥BC,

∴EG⊥GF.∴△EFG是直角三角形.

(3)解:∵=,∴=.

又BC=R,∴EG=.

同理,GF=PD=×2R=R,

∴S_△EFG=×R×R=R².