题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，长轴长为12，直线y=kx-4与椭圆交于A，B，弦AB的长为
10
，求此直线的斜率．
分析：根据长轴长及离心率可求出椭圆方程，根据弦长公式可用k表示出弦长，令其为
10
，解出即可，注意检验．
解答：解：由长轴长为12，得a=6，由离心率为
3
2
，得
c
6
=
3
2
，解得c=3
3
，所以b2=a2-c2=36-27=9，
所以椭圆方程为：
x2
36
+
y2
9
=1，
设A（x1，y1），B（x1，y1），由
y=kx-4
x2
36
+
y2
9
=1
，消掉y得（1+4k2）x2-32kx+28=0，则x1+x2=
32k
1+4k2
，x1x2=
28
1+4k2
，
△=（32k）2-4×28（1+4k2）=16（36k2-7），
|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
•
(
32k
1+4k2
)2-4×
28
1+4k2
=
(1+k2)(36k2-7)
1+4k2
=
10
．
解得k=±
1
2
，经验证△＞0成立，
故直线斜率为：k=±
1
2
．
点评：本题考查椭圆方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系，考查弦长公式，考查学生的运算能力，本题属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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