Question

已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程式为（　　）

• A、

  x2

  3

  -

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  4

  -

  y2

  5

  =1
• C、

  x2

  6

  -

  y2

  3

  =1
• D、

  x2

  5

  -

  y2

  4

  =1

Answer 1

分析：已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x₁+x₂=-24，根据

y1-y2

x1-x2

=

4b2

5a2

，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．

解答：解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k_FN=1，
设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有

x12 a2 - y12 b2 =1 x22 a2 - y22 b2 =1

，
两式相减并结合x₁+x₂=-24，y₁+y₂=-30得

y1-y2

x1-x2

=

4b2

5a2

，
从而=

4b2

5a2

=1
即4b²=5a²，
又a²+b²=9，
解得a²=4，b²=5，
故选B．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．