题目内容

若点P到点F（
1
2
，0）的距离与它到直线x+
1
2
=0的距离相等．
（1）求P点轨迹方程C，
（2）A点是曲线C上横坐标为8且在X轴上方的点，过A点且斜率为1的直线l与C的另一个交点为B，求C与l所围成的图形的面积．
分析：（1）直接由抛物线的定义得P点轨迹方程；
（2）求出直线l的方程，通过作草图可把要求的图形的面积用积分表示，然后通过求积分得到C与l所围成的图形的面积．
解答：解：（1）因为点P到点F（
1
2
，0）的距离与它到直线x+
1
2
=0的距离相等
所以P点轨迹为以点F（
1
2
，0）为焦点的抛物线，
其方程为y2=2x；
（2）当x=8时A点坐标为（8，4），故AF直线方程为
y-4=1×（x-8），即y=x-4．
作出曲线y2=2x，y=x-4的草图如图，
解方程组
y2=2x
y=x-4
，得B（2，-2）
所求面积为S=2
∫
2
0
(
2x
)dx+
∫
8
2
(
2x
-(x-4))dx
=2
2
∫
2
0
x
1
2
dx+
2
∫
8
2
x
1
2
dx
-∫
8
2
xdx
+∫
8
2
4dx
=
4
2
3
x
3
2
|
2
0
+
2
2
3
x
3
2
|
8
2
-
1
2
x2|
8
2
+4
x|
8
2

=
4
2
3
×2
3
2
+
2
2
3
(8
3
2
-2
3
2
)-
1
2
(82-22)+24=18．
所以C与l所围成的图形的面积为18．
点评：本题考查了抛物线的定义，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了利用积分求曲边梯形的面积，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知P为曲线C上任一点，若P到点F（
1
2
，0）的距离与P到直线x=-
1
2
距离相等
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点A、B，
（I）若|AB|=2
6
，求直线l的方程；
（II）试问在x轴上是否存在定点E（a，0），使
EA
•
EB
恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
已知动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为
12
．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若点M是圆C：x2+（y-3）2=1上的动点，求|PM|+|PF|的最大值及此时的P点坐标．
（2013•许昌三模）有下列四个命题：
①函数y=x+
1
4x
（x≠0）的值域是[1，+∞）；
②平面内的动点P到点F（-2，3）和到直线l：2x+y+1=0的距离相等，则P的轨迹是抛物线；
③直线AB与平面α相交于点B，且AB与α内相交于点C的三条互不重合的直线CB、CE、CF所成的角相等，则AB⊥α；
④若f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），则f（
x1+x2
2
）≤
1
2
[f（x1）+f（x2）]．
其中正确的命题的编号是
③④
③④
．
有下列四个命题：
①函数y=x+
1
4x
（x≠0）的值域是[1，+∞）；
②平面内的动点P到点F（-2，3）和到直线l：2x+y+1=0的距离相等，则P的轨迹是抛物线；
③直线AB与平面α相交于点B，且AB与α内相交于点C的三条互不重合的直线CB、CE、CF所成的角相等，则AB⊥α；
④若f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），则f（
x1+x2
2
）≤
1
2
[f（x1）+f（x2）]．
其中正确的命题的编号是______．

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