题目内容

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面AA₁C₁C⊥侧面ABB₁A₁，AA₁=A₁C=CA=2， $数学公式$ ．
（1）求证：AA₁⊥BC；
（2）求二面角A-BC-A₁的余弦值；
（3）若 $数学公式$ ，在线段CA₁上是否存在一点E，使得DE∥平
面ABC？若存在，求出CE的长；若不存在，请说明理由．

证明：（1）取AA₁中点O，连接CO，BO．
∵CA=CA₁，
∴CO⊥AA₁，
又∵BA=BA₁，
∴BO⊥AA₁，
∵BO∩CO=O，
∴AA₁⊥平面BOC，
∵BC?平面BOC，
∴AA₁⊥BC．
解：（2）由（1）CO⊥AA₁，又侧面AA₁C₁C⊥侧面ABB₁A₁，侧面AA₁C₁C∩侧面ABB₁A₁=AA₁∴CO⊥平面ABB₁A₁，而BO⊥AA₁，
∴OA，OB，OC两两垂直．
如图，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．则有 $\text{[math]}$ 由对称性知，二面角A-BC-A₁的大小为二面角A-BC-O的两倍
设 $\text{[math]}$ 是平面ABC的一个法向量，
∵ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
令z₁=1，∴ $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ 是平面OBC的一个法向量，
设二面角A-BC-O为θ，则 $\text{[math]}$ ，
所以二面角A-BC-A₁的余弦值是 $\text{[math]}$ ．
（3）假设存在满足条件的点E，∵ $\text{[math]}$ ，故可设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵DE∥平面ABC，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）取AA₁中点O，连接CO，BO，由已知中A₁C=CA=2， $\text{[math]}$ ．易得CO⊥AA₁且BO⊥AA₁，结合线面垂直的判定定理可得AA₁⊥平面BOC，进而由线面垂直的性质定理得到AA₁⊥BC；
（2）结合（1）的结论可得OA，OB，OC两两垂直，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．我们求出平面ABC的一个法向量和平面OBC的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A-BC-A₁的余弦值；
（3）设 $\text{[math]}$ ，结合DE∥平面ABC， $\text{[math]}$ ，我们可以构造一个关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可得到向量 $\text{[math]}$ 模的大小．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，向量语言表述线面的垂直、平行关系，其中（1）的关键是证得CO⊥AA₁且BO⊥AA₁，（2）的关键是求出平面ABC的一个法向量和平面OBC的一个法向量，（3）的关键是根据已知条件求出λ的值．