题目内容

过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)上任意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，若
PM
•
PN
=2b2，则该双曲线的离心率为（　　）
分析：设双曲线上的P（x0，y0），可得
x
2
0
a2
-
y
2
0
b2
=1．再利用数量积运算和离心率计算公式即可得出．
解答：解：设双曲线上的P（x0，y0），则
x
2
0
a2
-
y
2
0
b2
=1，∴
x
2
0
=a2+
a2
b2
y
2
0
．
联立
y=y0
y=
b
a
x
，解得x=
ay0
b
，取M(
ay0
b
，y0)．
同理可得N(-
ay0
b
，y0)．
∴
PM
•
PN
=(
ay0
b
-x0，0)•(-
ay0
b
-x0，0)=
x
2
0
-
a2
y
2
0
b2
=a2．
∴a2=2b2．
∴e=
c
a
=
1+
b2
a2
=
1+
1
2
=
6
2
．
故选C．
点评：本题考查了双曲线的标准方程、数量积运算和离心率计算公式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM=ME，则该双曲线的离心率为（　　）
A、3
B、2
C、
3
D、
2
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是
 
．
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的左焦点F作⊙O：x2+y2=a2的两条切线，记切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB=120°，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A、y=±
3
x
B、y=±
3
3
x
C、y=±
2
x
D、y=±
2
2
x
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐进线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若
FM
=2
ME
，则该双曲线离心率为（　　）
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的平行线，该平行线与y轴交于点P，若|OP|=|OF|，则双曲线的离心率为（　　）

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