Question

7．已知a+b=2，a＞1，b＞0，求$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 易得a-1＞0，且a-1+b=1，整体代入可得$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}{b}$）（a-1+b）=3+$\frac{b}{a-1}$+$\frac{2（a-1）}{b}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a+b=2，a＞1，b＞0，
∴a-1＞0，且a-1+b=1，
∴$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}{b}$）（a-1+b）
=3+$\frac{b}{a-1}$+$\frac{2（a-1）}{b}$≥3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{b}{a-1}$=$\frac{2（a-1）}{b}$即a=$\sqrt{2}$且b=2-$\sqrt{2}$时，
$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}{b}$取最小值3+2$\sqrt{2}$，

点评 本题考查基本不等式求最值，变形已知式子并整体代入是解决问题的关键，属中档题．