Question

18．已知函数f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$（x≠1）．
（Ⅰ）证明f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）令g（x）=lnf（x），试讨论g（x）=lnf（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用单调性的定义证题步骤：取值、作差、变形定号、下结论，即可证得；
（Ⅱ）先判断函数的奇偶性，再求出函数的定义域、g（-x），化简后利用函数奇偶性的定义进行判断．

解答 证明：（Ⅰ）设1＜x₁＜x₂，则 f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$-$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}$
=$\frac{{（x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）-（{x}_{2}+1）（{x}_{1}-1）}{{（x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{{2（x}_{2}-{x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，…3分
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，则f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；…6分
解：（Ⅱ）g（x）是偶函数，原因如下：
g（x）=lnf（x）=$ln\frac{x+1}{x-1}$，
由$\frac{x+1}{x-1}＞0$得（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-1，
∴函数g（x）的定义域是{x|x＞1或x＜-1}，关于原点对称，…8分
∵g（-x）=$ln\frac{-x+1}{-x-1}$=$ln\frac{x-1}{x+1}$=-$ln\frac{x+1}{x-1}$=-g（x），
∴函数g（x）是偶函数…12分

点评 本题考查函数单调性的证明及奇偶性的判断，对数函数的运算，掌握单调性的定义证题步骤是关键，考查化简、变形能力，属于中档题．