Question

过双曲线C：x2-

y2

m2

=1的右顶点A作两条斜率分别为k₁、k₂的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点，其k₁、k₂满足关系式k_1•k₂=-m²且k₁+k₂≠0，k₁＞k₂
（1）求直线MN的斜率；
（2）当m²=2+

3

时，若∠MAN=60°，求直线MA、NA的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知的双曲线方程及双曲线的性质可以求得A点坐标，由于已知过A作两条斜率分别为k₁、k₂的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点，把直线MA的方程与双曲线的方程进行联立，利用韦达定理及x_A=1，又k₁k₂=-m²可以M，N点的坐标的关系式，进而求解；
（2）由于∠MAN=60°，利用到角的定义可以知道AM到AN的角为60°或AN到AM的角为60°，进而得到两直线的斜率的关系等式，结合已知的两斜率的关系等式，联立解处斜率的数值，再利用直线的方程即可求得直线的方程．

解答：解：（1）C：x2-

y2

m2

=1的右顶点A坐标为（1，0）
设MA直线方程为y=k₁（x-1），代入m²x²-y²-m²=0中，整理得（m²-k₁）x²+2k₁²x-（k₁²+m²）=0）
由韦达定理可知xm•xA=

k 2 1 +m2

k 2 1 -m2

，而x_A=1，又k₁k₂=-m²
∴xm=

k 2 1 +m2

k 2 1 -m2

=

k 2 1 -k1k2

k 2 1 +k1k2

=

k1-k2

k1+k2

于是ym=k1(xm-1)=k1(

k1-k2

k1+k2

-1)=

-2k1k2

k1+k2

由同理可知yn=

-2k1k2

k1+k2

，于是有y_m=y_n
∴MN∥x抽，从而MN直线率k_MN=0．
（2）∵∠MAN=60°，说明AM到AN的角为60°或AN到AM的角为60°．
则

k2-k1

1+k1k2

=

3

或

k1-k2

1+k1k2

=

3

，
又k1k2=-(3+

3

)，k₁＞k₂
从而

k2-k1=-3- 3 k1k2=-(2+ 3 )

则求得

k1=1 k2=-(2+ 3 )

或

k1=2+ 3 k2=-1

因此MA，NA的直线的方程为y=x-1，y=-(2+

3

)(x-1)
或为y=(2+

3

)(x-1)，y=-（x-1）．

点评：（1）此问考查了双曲线的右定点的定义，直线方程与双曲线方程联立后根与系数的关系，还考查了直线的斜率公式；
（2）此问考查了到角的定义及到角的公式，还考查了方程的思想，直线的点斜式求出直线的方程．