Question

已知函数f（x）=

lnx

x

+

a

x

-1（a∈R）
（1）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）≤0在区间（0，e²]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程关键求在x=1的导数即切线的斜率，
（2）恒成立问题可转化成研究函数f（x）在区间（0，e²]上的最大值，即f（x）_max≤0．

解答：解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），导函数f′（x）=

1-(lnx+a)

x2

，
∴k=f′（1）=1-a，
又f（1）=a-1，即切点坐标为（1，a-1），
所以，函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-（a-1）=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x+2（a-1）．
（2）结合（1），令f′（x）=0得x=e^1-a，由对数函数的单调性知：
当x∈（0，e^1-a）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（e^1-a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
（ⅰ）当e^1-a＜e²时，a＞-1时，f（x）_max=f（e^1-a）=e^a-1-1，
令e^a-1-1≤0，解得a≤1，即-1＜a≤1，
（ⅱ）当e^1-a≥e²即a≤-1时，f（x）在（0，e²]上是增函数，
∴f（x）在（0，e²]上的最大值为f（e²）=

2+a

e2

-1，
令

2+a

e2

-1≤0，解得a≤e²-2，即a≤-1，
综上可知，实数a的取值范围是a≤1．

点评：本题考查了导数的几何意义，利用导数求闭区间上函数的最值，恒成立问题的处理方法