Question

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。

Answer 1

（1）（2）（3）

试题分析：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x₀,y₀),
由      得
又点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S_△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S_△ABC=
于是S_△ABC=
由≥－1,得S_△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S_△ABC的最大值是
点评：第二问中求轨迹方程用到的是相关点法，即设出所求点坐标，转化到已知条件中的点然后代入已知椭圆方程；第三问需注意讨论直线斜率存在不存在两种情况，其中求最值用到了均值不等式，此题有一定的难度