Question

【题目】设椭圆：的左焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为.

（1）若点也是顶点为原点的抛物线的焦点，求抛物线的方程；

（2）当与轴垂直时，求直线的方程；

（3）设为坐标原点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析.

【解析】

(1)由抛物线的焦点为即可求得方程.
(2)求得的方程再代入椭圆计算坐标即可.
(3)分支线斜率为0与,斜率不存在与一般斜率三种情况进行讨论.又由可转证,联立方程代入韦达定理化简即可.

(1)由题设抛物线,且焦点为则,故抛物线方程.

(2)由已知得,的方程为.代入椭圆方程可得,点的坐标为或.所以的方程为或.

(3)当与轴重合时,.

当与轴垂直时,为的垂直平分线,所以.

当与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,则,,直线,的斜率之和为.

由,得.

将代入得.所以,,.

则.

从而,故,的倾斜角互补,所以.

综上,.