Question

如图，半径为1的圆O上有定点P和两动点A、B，AB=

3

，则

PA

•

PB

的最大值为

3

2

．

Answer 1

分析：欲求

PA

•

PB

的最大值，根据条件可求出∠P，只需求PA•PB的最值即可，利用余弦定理可求出所求．

解答：解：取AB的中点为D，连接OD、OB
∴BD=

3

2

而OB=1，三角形ODB为直角三角形
则∠DOB=60°则AB所对的圆心角为120°
即AB所对的圆周角为60°即∠P=60°
设

|PA|

=b，

|PB|

=a
则AB²=3=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab≥ab
∴

PA

•

PB

=abcos60°=

1

2

ab≤

3

2

故答案为：

3

2

点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及余弦定理的应用和基本不等式等知识，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．