Question

已知：向量

a

=(4cosα，  sinα)，  

b

=(sinβ，  4cosβ)，  

c

=(cosβ，  -4sinβ)
（1）若tanαtanβ=16，求证：

a

∥

b

；
（2）若

a

与

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（3）求|

b

+

c

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得sinαsinβ=16cosαcosβ，即4cosα•4cosβ=sinα•sinβ，进而可得平行；
（2）由垂直可得数量积为0，展开后由三角函数的公式可得tan（α+β）的值；
（3）可得

b

+

c

的坐标，进而可得模长平方的不等式，由三角函数的知识可得最值，开方可得．

解答：解：（1）∵tanαtanβ=16，∴sinαsinβ=16cosαcosβ，
∵

a

=(4cosα，  sinα)，  

b

=(sinβ，  4cosβ)，
∴4cosα•4cosβ=sinα•sinβ，
∴

a

∥

b

；
（2）∵

a

与

b

-2

c

垂直，∴

a

•(

b

-2

c

)=

a

•

b

-2

a

•

c

=0，
即4cosαsinβ+4sinαcosβ-2（4cosαcosβ-4sinαsinβ）=0，
∴4sin（α+β）-8cos（α+β）=0，
∴tan（α+β）=2；
（3）

b

+

c

=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴|

b

+

c

|2=（sinβ+cosβ）²+（4cosβ-4sinβ）²
=17-30sinβcosβ=17-15sin2β
∴当sin2β=-1时，|

b

+

c

|取最大值

17+15

=4

2

点评：本题考查向量的平行和垂直，以及三角函数的综合应用，属基础题．