题目内容
19．已知非零向量$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{b}$+3$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$，则|$\overrightarrow{a}$|=3$\sqrt{2}$．分析 设$＜\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞$=θ，非零向量$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{b}$+3$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$3{\overrightarrow{b}}^{2}$+3$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}$，${\overrightarrow{a}}^{2}=9（{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}）$+18$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$，代入化简即可得出．
解答 解：设$＜\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞$=θ，
∵非零向量$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{b}$+3$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$3{\overrightarrow{b}}^{2}$+3$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}$，${\overrightarrow{a}}^{2}=9（{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}）$+18$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$，
∴$|\overrightarrow{a}|×\frac{\sqrt{2}}{2}$=3+3cosθ，$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=18+18cosθ，
化为$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$-3$\sqrt{2}$$|\overrightarrow{a}|$=0，$|\overrightarrow{a}|≠$0，
解得$|\overrightarrow{a}|$=3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．
点评 本题考查了向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
