题目内容
设离心率e=
的椭圆M：
+
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是x轴正半轴上一点，以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线x+
y+3=0相切，过点P的直线与椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求
•
的取值范围．
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求
| QA |
| QC |
（Ⅰ）设以|PF1|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，
∴|NF1|=a，∵e=
，∴a=2c，
∴∠NF1P=
，|PF1|=2a．
∴F2（c，0）是以|PF1|为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线x+
y+3=0相切，
∴2c=
，解得c=1，a=2，b=
，
∴椭圆M的方程为：
+
=1．
（Ⅱ）设点A（x1，y1），C（x2，y2），则点B（x1，-y1），
设直线PA的方程为y=k（x-3），
联立方程组
，消掉y，化简整理得（4k2+3）x2-24k2x+36k2-12=0，
由△=（24k2）2-4•（3+4k2）•（36k2-12）＞0，得0＜k2＜
．
则x1+x2=
，x1x2=
．
直线BC的方程为：y+y1=
(x-x1)，
令y=0，则x=
=
=
=
．
∴Q点坐标为(
，0)．
•
=(x1-
)(x2-
)+y1y2=(x1-
)(x2-
)+k2(x1-3)(x2-3)
=(1+k2)x1x2-(3k2+
)(x1+x2)+9k2+
=(1+k2)•
-(3k2+
)•
+9k2+
=
+
=
-
．
∵0＜k2＜
，
∴
•
∈(-
，
)．
∴|NF1|=a，∵e=
| 1 |
| 2 |
∴∠NF1P=
| π |
| 3 |
∴F2（c，0）是以|PF1|为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线x+
| 3 |
∴2c=
| |c+3| | ||||
|
| 3 |
∴椭圆M的方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）设点A（x1，y1），C（x2，y2），则点B（x1，-y1），
设直线PA的方程为y=k（x-3），
联立方程组
|
由△=（24k2）2-4•（3+4k2）•（36k2-12）＞0，得0＜k2＜
| 3 |
| 5 |
则x1+x2=
| 24k2 |
| 4k2+3 |
| 36k2-12 |
| 4k2+3 |
直线BC的方程为：y+y1=
| y2+y1 |
| x2-x1 |
令y=0，则x=
| y1x2+y2x1 |
| y1+y2 |
| 2x1x2-3(x1+x2) |
| x1+x2-6 |
| ||||
|
| 4 |
| 3 |
∴Q点坐标为(
| 4 |
| 3 |
| QA |
| QC |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
=(1+k2)x1x2-(3k2+
| 4 |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
=(1+k2)•
| 36k2-12 |
| 4k2+3 |
| 4 |
| 3 |
| 24k2 |
| 4k2+3 |
| 16 |
| 9 |
=
| 19k2-12 |
| 4k2+3 |
| 16 |
| 9 |
| 235 |
| 36 |
| 105 |
| 16k2+12 |
∵0＜k2＜
| 3 |
| 5 |
∴
| QA |
| QC |
| 20 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
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如图，设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1，F2为焦点，离心率e=