题目内容
【题目】已知椭圆
：
（
）的左、右焦点分别为
，焦距为
，过点
作直线交椭圆于
两点，
的周长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为
的直线
与椭圆相交于
两点，求定点
与交点所构成的三角形
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据题意可得
，
，再由
，即可求解.
（2）设直线
的方程为
，将直线与椭圆方程联立求得关于
的方程，利用弦长公式求出
，再利用点到直线的距离求出点
到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.
解（1）由题意的：，
，∴
，
∴
∴椭圆
的方程为
(2)∵直线的斜率为
，∴可设直线的方程为
与椭圆的方程联立可得：
①
设
两点的坐标为
，由韦达定理得：
，
∴
点到直线的距离
，
∴
由①知：
，
，
令
，则
，∴
令
，则
在
上的最大值为
∴
的最大值为
综上所述：三角形面积的最大值2.
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