Question

【题目】在长方体中，分别是的中点，，过三点的的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．

（1）求证：平面；

（2）求的长；

（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).

【解析】试题分析：(1)证得是平行四边形,得出线线平行,利用线面平行的判定定理证明命题成立；(2)利用等体积转化,求出；(3)在平面中作,过作,推出,证明,推出相似于,求得.

试题解析：解：（1）在长方体中，可知，由四边形是平行四边形，所以.因为分别是的中点，所以，则，

又面面，则平面．．．．．．．．．．．．4分

（2）∵，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）在平面中作交于，过作交于点，则.

因为平面平面，∴，而

，∴，

又∵，∴平面,

且平面，∴，

∵，∴，∴，又∵，∴．

∵四边形为直角梯形，且高，∴．．．．．．．．．． 12分