Question

【题目】已知．

（1）当时，求的定义域；

（2）若在上为减函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）将代入解析式，由对数函数性质解关于的不等式，求得的范围；结合正切函数的图像与性质，即可确定的定义域；

（2）结合复合函数单调性的性质，讨论与两种情况，再由二次函数的单调性及对数函数定义域要求即可确定的取值范围．

（1）当时，代入解析式可得，

则，

所以，化简可得，

解不等式可得或，

由正切函数的图像与性质可解得.

（2）当时，在上为减函数，由复合函数单调性可知在上为增函数，由二次函数性质可知不成立；

当时，在上为减函数，由复合函数单调性可知在上为减函数，

由二次函数性质可知需满足，解得，

由对数函数性质可知，，因而成立，解得，

综上可知，的取值范围为.