Question

设f（x）=

∫

1 0

 |x²-a²|dx．
（1）当0≤a≤1与a＞1时，分别求f（a）；
（2）当a≥0时，求f（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据a的范围，可以将被积函数的绝对值去掉，然后找出被积函数的原函数，直接计算定积分即可；
（2）由（1）可知讨论a，计算相应的定积分，就函数f（a）利用函数的导数判断函数的单调性，进而求函数的最小值．

解答：解：（1）0≤a≤1时，
f（a）=

∫

1 0

 |x²-a²|dx
=

∫

a 0

 （a²-x²）dx+

∫

1 a

 （x²-a²）dx
=（a²x-

1

3

x³）

.

a 0

+（

x3

3

-a²x）

.

1 a

=a³-

1

3

a³-0+0+

1

3

-a²-

a3

3

+a³
=

4

3

a³-a²+

1

3

．
当a＞1时，
f（a）=

∫

1 0

 （a²-x²）dx
=（a²x-

1

3

x³）

.

1 0

=a²-

1

3

．
∴f（a）=

4 3 a3-a2+ 1 3 (0≤a≤1) a2- 1 3 (a＞1).

（2）当a＞1时，由于a²-

1

3

在[1，+∞）上是增函数，故f（a）在[1，+∞）上的最小值是f（1）=1-

1

3

=

2

3

．
当a∈[0，1]时，f′（a）=4a²-2a=2a（2a-1），
由f′（a）＞0知：a＞

1

2

或a＜0，
故在[0，

1

2

]上递减，在[

1

2

，1]上递增．
因此在[0，1]上，f（a）的最小值为f（

1

2

）=

1

4

．
综上可知，f（x）在[0，+∞）上的最小值为

1

4

．

点评：本题考查了定积分的基本运算，分类讨论思想，以及函数的导数法判断函数单调性求函数最值的方法，是高考的常考知识点．