题目内容

已知函数f（x）=lnx，g（x）= $数学公式$ （a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率 k $数学公式$ 恒成立，求实数a的最小值．
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（ $数学公式$ ）+m-1的图象与y=f（1+x²）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

解：（I） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
因为a＞0由F′（x）＞0?x∈（a，+∞），所以F（x）在（a，+∞）上单调递增；
由F′（x）＜0?x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上单调递减．
（Ⅱ）由题意可知 $\text{[math]}$ 对任意0＜x₀≤3恒成立，
即有 $\text{[math]}$ 对任意0＜x₀≤3恒成立，即 $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，即实数a的最小值为 $\text{[math]}$ ．
（III）若y=g（ $\text{[math]}$ ）+m-1═ $\text{[math]}$ 的图象与y=f（1+x²）=ln（x²+1）的图象恰有四个不同交点，
即 $\text{[math]}$ 有四个不同的根，
亦即 $\text{[math]}$ 有四个不同的根．
令 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ．
当x变化时G'（x）．G（x）的变化情况如下表：

由表格知： $\text{[math]}$ ．
又因为 $\text{[math]}$ 可知，当 $\text{[math]}$ 时，
方程 $\text{[math]}$ 有四个不同的解．
∴ $\text{[math]}$ 的图象与
y=f（1+x²）=ln（x²+1）的图象恰有四个不同的交点．
分析：（I）先求出F（x），然后求出F'（x），分别求出F′（x）＞0与F′（x）＜0 求出F（x）的单调区间；
（II）利用导数的几何意义表示出切线的斜率k，根据 $\text{[math]}$ 恒成立将a分离出来， $\text{[math]}$ ，即可求出a的范围，从而得到a的最小值；
（III）p函数y=g（ $\text{[math]}$ ）+m-1的图象与y=f（1+x²）的图象有四个不同的交点转化成方程有四个不同的根，分离出m后，转化成新函数的最大值和最小值．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，导数在函数单调性和最值中的应用，同时考查了导数的几何意义和恒成立问题，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．