Question

设△ABC的外接圆的圆心为O，且3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

，则∠C等于（　　）

A．45°

B．60°

C．75°

D．90°

Answer 1

分析：将题中向量等式移项并两边平方，得9

OA

2+24

OA

•

OB

+16

OB

2=25

OC

2，结合

|OA|

=

|OB|

=

|OC|

化简得

OA

•

OB

=0，从而得到∠AOB=90°，最后用圆周角定理即得∠C=

1

2

∠AOB=45°．

解答：解：∵3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

，
∴移项得3

OA

+4

OB

=-5

OC

两边平方得，9

OA

2+24

OA

•

OB

+16

OB

2=25

OC

2
∵O为△ABC的外接圆的圆心，
∴

|OA|

=

|OB|

=

|OC|

，上式化简为24

OA

•

OB

=0
因此

OA

⊥

OB

，即∠AOB=90°
∵⊙0中，∠AOB是圆心角，而∠C是同弧所对的圆周角
∴∠C=

1

2

∠AOB=45°
故选：A

点评：本题给出三角形ABC外接圆圆心为0，在已知向量关系式的情况下求∠C的大小，着重考查了平面向量的数量积及其运算性质、向量在几何中的应用等知识，属于中档题．