Question

（2012•保定一模）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线C_l：

x=1+tcosα y=tsinα

（t为参数），圆C₂：ρ=1（极坐标轴与x轴非负半轴重合）
（1）当α=

π

3

时，求直线C₁被圆C₂所截得的弦长；
（2）过坐标原点O作C₁的垂线，垂足为A、当a变化时，求A点的轨迹的普通方程．

Answer 1

分析：（1）当α=

π

3

时，直线C₁化为普通方程为y=

3

（x-1），圆C₂：ρ=1，即 x²+y²=1，联立方程组求出直线C₁与圆C₂的交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
（2）由于直线C_l过定点M（1，0），设垂足A的坐标为（x，y），则由题意可得

OA

⊥

AM

，故 

OA

•

AM

=0，化简可得A点的轨迹的普通方程．

解答：解：（1）当α=

π

3

时，直线C₁即

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

，消去t，化为普通方程为y=

3

（x-1）．
圆C₂：ρ=1，即 x²+y²=1，
由

x2+y2=1 y= 3 (x-1)

 解得直线C₁与圆C₂的交点为（1，0）、（

1

2

，

3

2

），
故直线C₁被圆C₂所截得的弦长为

(1- 1 2 )2+(0- 3 2 )2

=1．
（2）由于直线C_l：

x=1+tcosα y=tsinα

（t为参数）过定点M（1，0），
设垂足A的坐标为（x，y），则由题意可得

OA

⊥

AM

，故 

OA

•

AM

=0．
故有（x，y）•（1-x，0-y）=x（1-x）-y²=0，
化简可得 x²+y²-x=0．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相交的性质，求点的轨迹方程，两个向量的数量积公式，属于基础题．