Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且na_n+1=（n+1）a_n（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若函数f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

（n∈N，n≥2）求函数f（n）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意a₁=1，且na_n+1=（n+1）a_n，两边同除以n（n+1）即可发现规律，从而求解；
（2）观察f（n+1）与f（n）之间的关系，证明f（n）为单调增的，即可求解；

解答：解：（1）由na_n+1=（n+1）a_n（n∈N^*）．
∴

an+1

n+1

=

an

n

，
∴{

an

n

}为常数列，∵a₁=1，∴a_n=n（n∈N^*）．
（2）∵f（n）=

1

n+1

+

2

n+2

+…+

1

2n

，
∴f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
∴f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
∴f（n）是递增的，∴f（n）的最小值为f（2）=

7

12

．

点评：此题主要考查数列递推公式的应用即数列的单调性问题，利用数列的单调性求最值是一种比较新颖的方法，大家要注意；