Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，已知a₃=5，S₉=81，
①求数列{a_n}的通项公式；
②设bn=，证明{b_n}是等比数列，并求其前n项和T_n．
③设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n} 的前n项的和M_n．

Answer 1

解：①∵等差数列，a₃=5，S₉=81，
∴，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
②∵bn=，
∴bn=2^2n-1=，
，，
，
∴{b_n}是以2以道貌岸然项，以4为公比的等比数列．
T_n==．
③∵c_n=a_n•b_n=（2n-1），
∴M_n=（2-1）+（2ו+（2×3-1）+…++（2n-1）×4ⁿ，
++…++（2n-1）×4ⁿ⁺¹，
∴4ⁿ⁺¹
=2+-（2n-1）
=2+，
∴．
分析：①由等差数列中，a₃=5，S₉=81，利用通项公式和前n项和公式列出方程组，求出a₁=1，d=2，由此能求出a_n=2n-1．
②由bn=，知bn=2^2n-1=，由此能够证明{b_n}是以2以道貌岸然项，以4为公比的等比数列．并能求出其前n项和T_n．
③由c_n=a_n•b_n=（2n-1），知M_n=（2-1）+（2ו+（2×3-1）+…++（2n-1）×4ⁿ，由错位相减法能够求出数列{c_n} 的前n项的和M_n．
点评：本题考查数列通项公式的求法，等比数列的证明，前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减求和法的灵活运用．