Question

9．设a，b∈R，当|ax+2|≥|2x+b|的解为R时，a，b应满足什么条件？

Answer 1

分析 由题意可得（a²-4）x²+（4a-4b）x+4-b²≥0恒成立，可得a=b=2，或a=b=-2，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4＞0}\\{△{=（4a-4b）}^{2}-4{（a}^{2}-4）（4{-b}^{2}）≤0}\end{array}\right.$，化简可得结论．

解答 解：|ax+2|≥|2x+b|的解为R，等价于 （ax+2）²≥（2x+b）² 恒成立，
即（a²-4）x²+（4a-4b）x+4-b²≥0恒成立．
∴a=b=2，或a=b=-2，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4＞0}\\{△{=（4a-4b）}^{2}-4{（a}^{2}-4）（4{-b}^{2}）≤0}\end{array}\right.$．
化简可得，a=b=2，或a=b=-2，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞2}\\{4-2\sqrt{3}≤ab≤4+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，二次函数的性质应用，属于中档题．