Question

已知△ABC中，A，B，C成等差数列，向量

n

=(0，-1)，向量

p

=(cosA，2cos2

C

2

)，求：|

n

+

p

|的取值范围．

Answer 1

分析：由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再根据三角形的内角和定理可得出B的度数，进而得出A+C的度数，用A表示出C，由两向量的坐标表示出两向量和的坐标，利用向量模的计算法则表示出|

n

+

p

|²，利用二倍角的余弦函数公式化简后，将表示出的C代入，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由A的范围，得到这个角的范围，根据余弦函数的图象与性质得出此时余弦函数的值域，即为|

n

+

p

|²的范围，开方即可得到|

n

+

p

|的取值范围．

解答：解：∵A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=

π

3

，A+C=

2π

3

，且0＜A＜

2π

3

，C=

2π

3

-A，
又向量

n

=(0，-1)，向量

p

=(cosA，2cos2

C

2

)，
∴

n

+

p

=（cosA，2cos2

C

2

-1）=（cosA，cosC），
∵|

n

+

p

|²=cos²A+cos²C=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

（cos2A+cos2C）
=1+

1

2

[cos2A+cos2（

2π

3

-A）]
=1+

1

2

[cos2A+cos（

4π

3

-2A）]
=1+

1

2

（cos2A-

1

2

cos2A-

3

2

sin2A）
=1+

1

2

（

1

2

cos2A-

3

2

sin2A）
=1+

1

2

cos（2A+

π

3

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴-1≤cos（2A+

π

3

）＜

1

2

，
∴

1

2

≤1+

1

2

cos（2A+

π

3

）＜

5

4

，
则

2

2

≤|

n

+

p

|＜

5

2

．

点评：此题考查了等差数列的性质，向量模的计算，平面向量坐标表示的应用，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练运用等差数列的性质求出B的度数是本题的突破点．