题目内容
若sin3θ-cos3θ＞cosθ-sinθ，且θ∈（0，2π），则θ的取值范围为 ．
分析：先将sin3θ-cos3θ＞cosθ-sinθ变形成sin3θ+sinθ＞cos3θ+cosθ，然后构造函数f（x）=x3+x，将原不等式转化成f（sinθ）＞f（cosθ），利用导数研究函数f（x）的单调性可得sinθ＞cosθ，在θ∈（0，2π）上求出θ的取值范围即可．
解答：解：已知不等式sin3θ-cos3θ＞cosθ-sinθ变形得：sin3θ+sinθ＞cos3θ+cosθ，
设f（x）=x3+x，
∵f′（x）=3x2+1＞0，
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴原不等式变形为f（sinθ）＞f（cosθ），
∴sinθ＞cosθ，
又∵θ∈（0，2π），
∴
＜θ＜
，
则θ的取值范围是：（
，
）
故答案为：（
，
）
设f（x）=x3+x，
∵f′（x）=3x2+1＞0，
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴原不等式变形为f（sinθ）＞f（cosθ），
∴sinθ＞cosθ，
又∵θ∈（0，2π），
∴
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
则θ的取值范围是：（
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
故答案为：（
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
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,则cos3θ-sin3θ=_________________.
