题目内容

 如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线

相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F. 

求证： （1）；

（2）AB2=BE•BD-AE•AC.

 

【答案】

见解析。

【解析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；

（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用三角形△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD-AE•AC．

(1)连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°

则A、D、E、F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA

(2)由(1)知，BD•BE=BA•BF

又△ABC∽△AEF

∴

即：AB•AF=AE•AC

∴ BE•BD-AE•AC

  =BA•BF-AB•AF

  =AB(BF-AF)

  =AB2

 

练习册系列答案
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如图，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C为圆周上异于A、B的一点．

(1)若一个n面体中有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为．那么四面体P－ABC的直度为多少？说明理由；

(2)如图，若四面体P－ABC中，AP＝AB＝1，AE⊥PB，垂足为E，AF⊥PC，垂足为F．设∠EAF＝，为△AEF面积的函数，求取最大值时二面角A－PB－C的大小．
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